Số thực

Ví dụ đơn giản nhất là các số thực với tích thông thường giữa các số là tích trong[4]

⟨ x , y ⟩ = x y . {\displaystyle \langle x,y\rangle =xy.}

Không gian vectơ Euclid

Tổng quát, không gian thực n chiều R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} với tích vô hướng là một không gian tích trong,[4] là một ví dụ của không gian vectơ Euclid.

⟨ [ x 1 ⋮ x n ] , [ y 1 ⋮ y n ] ⟩ = x T y = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + ⋯ + x n y n , {\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}

trong đó xT là chuyển vị của x.

Không gian tọa độ phức

Dạng tổng quát của một tích trong trên C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} được gọi là dạng Hermite và được cho bởi

⟨ x , y ⟩ = y † M x = x † M y ¯ , {\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}

trong đó M là một ma trận Hermite nửa xác định dương và y† là chuyển vị liên hợp của y.

Tích trong phức thường gặp nhất là tích vô hướng chính tắc phức, trong đó ma trận M được chọn là ma trận đơn vị.

Không gian Hilbert

Bài viết về không gian Hilbert có một số ví dụ về không gian tích trong, trong đó metric được tạo bởi tích trong tạo ra không gian metric đầy đủ. Một ví dụ của không gian tích trong tạo ra một metric không đầy đủ là không gian C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])} của các hàm giá trị phức liên tục f {\displaystyle f} và g {\displaystyle g} trên đoạn [ a , b ] . {\displaystyle [a,b].} Tích trong của chúng là

⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( t ) g ( t ) ¯ d t . {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}

Không gian này là không đầy đủ; lấy ví dụ, trên đoạn [−1; 1] với dãy hàm "bước" liên tục{ fk}k được xác định bởi:

f k ( t ) = { 0 t ∈ [ − 1 , 0 ] 1 t ∈ [ 1 k , 1 ] k t t ∈ ( 0 , 1 k ) {\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}

Dãy này là một dãy Cauchy với chuẩn tạo bởi tích trong trước không hội tụ thành hàm liên tục.

Biến ngẫu nhiên

Với hai biến ngẫu nhiên X và Y, giá trị kỳ vọng của tích của chúng là một tích trong.[10][11][12]

⟨ X , Y ⟩ = E ⁡ ( X Y ) {\displaystyle \langle X,Y\rangle =\operatorname {E} (XY)}

Trong trường hợp này, ⟨X, X⟩ = 0 khi và chỉ khi Pr(X = 0) = 1 (tức là gần như chắc chắn X = 0). Định nghĩa tích trong dưới dạng giá trị kỳ vọng này còn có thể được mở rộng đối với các vectơ tự do.

Ma trận thực

Với hai ma trận thực vuông cùng cỡ, ⟨A, B⟩ ≝ tr(ABT) với chuyển vị chính là phép liên hợp, tức là

( ⟨ A , B ⟩ = ⟨ B T , A T ⟩ ) {\displaystyle \left(\langle A,B\rangle =\left\langle B^{\textsf {T}},A^{\textsf {T}}\right\rangle \right)}

là một tích trong.